L’énigme des nombres premiers

Une énigme qui passionne les hommes depuis la Grèce antique : les nombres premiers. Rappelez-vous, les nombres premier sont des nombres qui ne sont divisibles que par eux-mêmes : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Ils sont du coup considérés comme les nombres les plus « purs ».
Mais ce qui intrigue le plus, c’est leur disposition au sein de la procession des nombres. Elle semble être complètement chaotique et aléatoire, pourtant, depuis des siècles, les plus grands mathématiciens, aussi bien que des kabbalistes, ont tenté d’y déceler un ordre secret.

Si l’on cherche à connaître le plus précisément possible l’organisation des nombres premiers dans l’ensemble des entiers naturels, en théorie, on ne peut pas prédire avec précision quand apparaîtra le prochain nombre premier, mais l’organisation de ces nombres est très régulière. Voilà ce que prétend Riemann et qu’il reste à démontrer.

Dans cette quête effrénée de l’ordonnancement des nombres premiers, on trouve une galerie de personnages hauts en couleur : l’Indien Ramanujan, un brahmane de Madras qui se disait inspiré par les visions de la déesse Namagiri, l’Anglais Alan Turing, qui cassa le code secret allemand Enigma et rêvait de créer une machine à générer des nombres premiers, le Français André Weil, qui plancha sur le sujet de sa prison au début de la Seconde Guerre mondiale, l’Américain John Nash, dont l’histoire est racontée dans le film « Un homme d’exception », un schizophrène génial qui finit à l’asile, le Hongrois Erdös, moine itinérant qui parcourut la planète à la rencontre de collègues pour l’aider à résoudre l’énigme…
Le Grec Euclide a démontré qu’ils se poursuivaient à l’infini. Au milieu du XIXe, l’Allemand Riemann est tombé sur une formule (magique ?) capable de prédire leur agencement. Cette formule, poétiquement nommée « les zéros de la fonction zêta », a été depuis « testée », retournée dans tous les sens, et semble aujourd’hui avérée à quasi 100%.

Seulement voilà, pour les mathématiciens, l’expérience ne suffit pas à établir la vérité. Pour passer d' »hypothèse » au statut immortel de « théorème », il faut en faire la démonstration. Et cette formule, Riemann ne l’a hélas jamais réellement démontrée, il ne s’agit que de « conjectures ».

« L’hypothèse de Riemann est capitale pour les mathématiques. En la résolvant, on établirait la carte des eaux brumeuses du vaste océan des nombres », écrit le mathématicien Marcus du Sautoy.

Elle est aussi cruciale pour bien d’autres domaines. On a ainsi démontré en physique quantique d’étonnantes corrélations entre les niveaux d’énergie dans l’atome et la formule de Riemann. Et surtout, toute notre sécurité électronique – cartes bancaires, e-commerce, emails… – repose sur les nombres premiers. A tel point que les agences de renseignement surveillent de très près les recherches dans la théorie des nombres…
Certains mathématiciens pensent que leur suite est le produit du hasard, mais on n’en est pas sûr car peut-être qu’il existe une règle cachée. C’est le problème central des nombres premiers, celui qui a généré la célèbre hypothèse de Riemann, sur laquelle les mathématiciens se torturent l’esprit depuis cent cinquante ans. S’ils sont le produit du hasard, ou « d’un Dieu jouant aux dés », comment l’expliquer et comment expliquer qu’ils soient en même temps le socle dur sur lequel sont bâtis tous les nombres, et la physique ?
Une somme de 800 000 euros est même proposée à toute personne qui permettra de résoudre l’énigme des nombres premiers…

http://www.linternaute.com/science/science-et-nous/dossiers/07/defis-maths/2.shtml
http://www.sciencesetavenir.fr/fondamental/20100510.OBS3739/equilibre-les-nombres-premiers-revelent-leur-secret.html